№ 15 Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 56° и 77°. Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах

Решение:

Вписанный четырёхугольник обладает свойством: сумма противоположных углов равна \( 180^\circ \).

Пусть углы четырёхугольника равны \( ∠ A, ∠ B, ∠ C, ∠ D \).

Даны два угла: 56° и 77°. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Данные углы соседние, например \( ∠ A = 56^\circ \) и \( ∠ B = 77^\circ \).

Тогда:

∠ C = \( 180^\circ - ∠ A = 180^\circ - 56^\circ = 124^\circ \).

∠ D = \( 180^\circ - ∠ B = 180^\circ - 77^\circ = 103^\circ \).

Углы: 56°, 77°, 124°, 103°. Меньший из оставшихся углов (не 56° и 77°) — это 103°.

Случай 2: Данные углы противоположные, например \( ∠ A = 56^\circ \) и \( ∠ C = 77^\circ \).

Это невозможно, так как \( ∠ A + ∠ C = 56^\circ + 77^\circ = 133^\circ \), что не равно \( 180^\circ \).

Следовательно, данные углы являются соседними.

Оставшиеся углы равны 124° и 103°. Меньший из них — 103°.

Ответ: 103.