14. Найдите значение выражения $$\frac{12^{11}\cdot 2^9}{24^9}$$.

Решение:

1. Представим числа в виде простых множителей:

\[ 12 = 2^2 \cdot 3 \]

\[ 24 = 2^3 \cdot 3 \]

2. Подставим разложение в выражение:

\[ \frac{(2^2 \cdot 3)^{11}\cdot 2^9}{(2^3 \cdot 3)^9} = \frac{(2^2)^{11} \cdot 3^{11} \cdot 2^9}{(2^3)^9 \cdot 3^9} \]

3. Раскроем степени:

\[ \frac{2^{2\cdot 11} \cdot 3^{11} \cdot 2^9}{2^{3\cdot 9} \cdot 3^9} = \frac{2^{22} \cdot 3^{11} \cdot 2^9}{2^{27} \cdot 3^9} \]

4. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

\[ \frac{2^{22+9} \cdot 3^{11}}{2^{27} \cdot 3^9} = \frac{2^{31} \cdot 3^{11}}{2^{27} \cdot 3^9} \]

5. Сократим степени:

\[ 2^{31-27} \cdot 3^{11-9} = 2^4 \cdot 3^2 \]

6. Вычислим результат:

\[ 2^4 \cdot 3^2 = 16 \cdot 9 = 144 \]

Ответ: 144