15. Диагональ AC ромба ABCD равна 48, а \( tg\angle BCA = \frac{7}{24} \). Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение:

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся пополам. Точка их пересечения - центр вписанной окружности.

Пусть \( O \) - точка пересечения диагоналей. Тогда \( AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{48}{2} = 24 \).

В прямоугольном треугольнике \( BOC \): \( \angle BOC = 90^\circ \).

Нам дан \( tg\angle BCA = \frac{7}{24} \).

В \( \triangle BOC \), \( tg\angle BCA = \frac{BO}{OC} \).

\( \frac{BO}{24} = \frac{7}{24} \)

\( BO = 7 \)

Радиус вписанной окружности \( r \) равен высоте прямоугольного треугольника \( BOC \), опущенной из вершины прямого угла \( O \) на гипотенузу \( BC \).

Сначала найдем сторону \( BC \) по теореме Пифагора в \( \triangle BOC \):

\( BC^2 = BO^2 + OC^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 \)

\( BC = \sqrt{625} = 25 \)

Площадь \( \triangle BOC \) можно найти двумя способами:

1. \( S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} BO \cdot OC = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 24 = 7 \cdot 12 = 84 \)

2. \( S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} BC \cdot r \)

Приравниваем площади:

\( \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot r = 84 \)

\( 25r = 168 \)

\( r = \frac{168}{25} = 6.72 \)

Ответ: 6.72