15. Диагональ АС ромба ABCD равна 48, а. Найдите радиус окружности, вписанной в этот ромб.

Решение:

1. Свойства ромба: Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
2. Нахождение половины диагоналей: Диагональ AC = 48, значит, AO = OC = 48 / 2 = 24. Диагональ BD = 7/3 * AC = 7/3 * 48 = 7 * 16 = 112. Тогда BO = OD = 112 / 2 = 56.
3. Нахождение стороны ромба: Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB. По теореме Пифагора: AB² = AO² + BO² = 24² + 56² = 576 + 3136 = 3712. AB = \sqrt{3712} = \sqrt{16 * 232} = 4\sqrt{232} = 4\sqrt{4 * 58} = 8\sqrt{58}.
4. Нахождение площади ромба: Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: S = (1/2) * AC * BD = (1/2) * 48 * 112 = 24 * 112 = 2688.
5. Нахождение радиуса вписанной окружности: Площадь ромба также можно найти как произведение его полупериметра на радиус вписанной окружности: S = p * r. Полупериметр ромба p = (4 * AB) / 2 = 2 * AB = 2 * 8\sqrt{58} = 16\sqrt{58}.
6. Вычисление радиуса: r = S / p = 2688 / (16\sqrt{58}) = 168 / \sqrt{58} = (168\sqrt{58}) / 58 = (84\sqrt{58}) / 29.

Ответ: (84√58) / 29