154 Докажите, что если n<m, то m! делится на n! без остатка.

Доказательство:

Рассмотрим определение факториала: \( m! = 1 \times 2 \times 3 \times ... \times n \times (n+1) \times ... \times m \).

Также, \( n! = 1 \times 2 \times 3 \times ... \times n \).

Мы можем представить \( m! \) следующим образом:

\[ m! = (1 \times 2 \times 3 \times ... \times n) \times ((n+1) \times (n+2) \times ... \times m) \]

Заметим, что первая часть выражения в скобках — это \( n! \). Таким образом:

\[ m! = n! \times ((n+1) \times (n+2) \times ... \times m) \]

Это означает, что \( m! \) является произведением \( n! \) и некоторого целого числа \( ((n+1) \times (n+2) \times ... \times m) \).

Следовательно, \( m! \) делится на \( n! \) без остатка.

Доказано.