154 Докажите, что если n < m, то m! делится на n! без остатка.

Чтобы доказать, что \( m! \) делится на \( n! \) без остатка, где \( n < m \), рассмотрим разложение факториала \( m! \).

По определению факториала:

\( m! = m \times (m-1) \times (m-2) \times \dots \times (n+1) \times n \times (n-1) \times \dots \times 2 \times 1 \)

Заметим, что часть этого произведения, начиная с \( n \) и заканчивая \( 1 \), является \( n! \).

\( m! = [m \times (m-1) \times \dots \times (n+1))] \times [n \times (n-1) \times \dots \times 2 \times 1] \)

То есть,

\( m! = [m \times (m-1) \times \dots \times (n+1))] \times n! \)

Из этого равенства видно, что \( m! \) является произведением \( n! \) на некоторое целое число \( [m \times (m-1) \times \dots \times (n+1))] \). Следовательно, \( m! \) делится на \( n! \) без остатка.

Доказано.