160 Какова вероятность того, что среди последних трёх цифр случайного телефонного номера: а) встретится цифра 7; б) встретится цифра 2 или цифра 3; в) встретится хотя бы одна из цифр 4, 0 или 1; г) будет хотя бы одна из цифр 1, 2, 4 и 9?

Решение:

Рассмотрим три последние цифры телефонного номера. Общее количество возможных комбинаций равно \( 10 \times 10 \times 10 = 1000 \).

а) Вероятность того, что встретится цифра 7.

Проще найти вероятность обратного события: цифра 7 НЕ встретится. Для этого у нас есть 9 вариантов для каждой цифры (все, кроме 7).

Количество комбинаций без цифры 7 = \( 9^3 = 729 \).

Вероятность того, что цифра 7 НЕ встретится = \( \frac{729}{1000} \).

Вероятность того, что цифра 7 встретится = \( 1 - \frac{729}{1000} = \frac{1000 - 729}{1000} = \frac{271}{1000} \).

б) Вероятность того, что встретится цифра 2 или цифра 3.

Проще найти вероятность обратного события: не встретится ни 2, ни 3. Для этого у нас есть 8 вариантов для каждой цифры (0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Количество комбинаций без цифр 2 и 3 = \( 8^3 = 512 \).

Вероятность того, что цифры 2 или 3 НЕ встретятся = \( \frac{512}{1000} \).

Вероятность того, что встретится цифра 2 или цифра 3 = \( 1 - \frac{512}{1000} = \frac{1000 - 512}{1000} = \frac{488}{1000} = \frac{61}{125} \).

в) Вероятность того, что встретится хотя бы одна из цифр 4, 0 или 1.

Проще найти вероятность обратного события: не встретится ни 4, ни 0, ни 1. Для этого у нас есть 7 вариантов для каждой цифры (2, 3, 5, 6, 7, 8, 9).

Количество комбинаций без цифр 4, 0, 1 = \( 7^3 = 343 \).

Вероятность того, что цифры 4, 0 или 1 НЕ встретятся = \( \frac{343}{1000} \).

Вероятность того, что встретится хотя бы одна из цифр 4, 0 или 1 = \( 1 - \frac{343}{1000} = \frac{1000 - 343}{1000} = \frac{657}{1000} \).

г) Вероятность того, что будет хотя бы одна из цифр 1, 2, 4 и 9.

Проще найти вероятность обратного события: не встретится ни 1, ни 2, ни 4, ни 9. Для этого у нас есть 6 вариантов для каждой цифры (0, 3, 5, 6, 7, 8).

Количество комбинаций без цифр 1, 2, 4, 9 = \( 6^3 = 216 \).

Вероятность того, что цифры 1, 2, 4 или 9 НЕ встретятся = \( \frac{216}{1000} \).

Вероятность того, что будет хотя бы одна из цифр 1, 2, 4 и 9 = \( 1 - \frac{216}{1000} = \frac{1000 - 216}{1000} = \frac{784}{1000} = \frac{98}{125} \).

Ответ: а) \( \frac{271}{1000} \); б) \( \frac{488}{1000} = \frac{61}{125} \); в) \( \frac{657}{1000} \); г) \( \frac{784}{1000} = \frac{98}{125} \).