16. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.

Решение:

При каждом броске монетки есть два равновероятных исхода: «Физик» выигрывает жребий (В) или проигрывает (П). Вероятность каждого исхода \( P(В) = P(П) = 0.5 \).

Команда «Физик» играет три матча. Нас интересует вероятность того, что «Физик» выиграет жребий ровно два раза.

Возможные исходы, где «Физик» выигрывает жребий ровно два раза:

• ВВП
• ВРВ
• РВВ

Каждый из этих исходов имеет вероятность \( 0.5 \times 0.5 \times 0.5 = 0.125 \).

Так как таких исходов 3, общая вероятность равна сумме вероятностей этих исходов:

\( P(\text{ровно 2 раза В}) = P(ВВП) + P(ВРВ) + P(РВВ) = 0.125 + 0.125 + 0.125 = 3 \times 0.125 = 0.375 \)

Или, используя формулу Бернулли:

\( P_n(k) = C_n^k \times p^k \times q^{n-k} \)

Где: \( n=3 \) (количество матчей), \( k=2 \) (количество выигрышей жребия), \( p=0.5 \) (вероятность выигрыша жребия), \( q=0.5 \) (вероятность проигрыша жребия).

\( C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = 3 \).

\( P_3(2) = 3 \times (0.5)^2 \times (0.5)^{3-2} = 3 \times 0.25 \times 0.5 = 3 \times 0.125 = 0.375 \)

Ответ: 0.375