17. В треугольнике ABC сторона AC = 12, BM — медиана, BH — высота, BC = BM. Найдите длину отрезка AH.

Так как BM — медиана, M — середина AC: AM = MC = 12/2 = 6.

Обозначим AH = x, а BH = h. По рисунку точки расположены в порядке A, M, H, C, поэтому HM = x − 6, HC = 12 − x.

В прямоугольных треугольниках BMH и BCH гипотенузы равны: BM = BC. По теореме Пифагора:

(x − 6)² + h² = (12 − x)² + h².

Сокращаем h² и получаем (x − 6)² = (12 − x)². Поскольку H находится между M и C, x − 6 = 12 − x, откуда 2x = 18 и x = 9.

Ответ: AH = 9.