19. В треугольнике ABC сторона AC = 56, BM — медиана, BH — высота, BC = BM. Найдите длину отрезка AH.

Так как BM — медиана, M — середина AC: AM = MC = 56/2 = 28.

Обозначим AH = x, BH = h. По рисунку точки расположены в порядке A, M, H, C, поэтому HM = x − 28, HC = 56 − x.

Из условия BM = BC. Применяя теорему Пифагора к прямоугольным треугольникам BMH и BCH, получаем:

(x − 28)² + h² = (56 − x)² + h².

Сокращаем h²: (x − 28)² = (56 − x)². Поскольку H лежит между M и C, x − 28 = 56 − x, откуда 2x = 84 и x = 42.

Ответ: AH = 42.