22. В треугольнике ABC сторона AC = 76, BM — медиана, BH — высота, BC = BM. Найдите длину отрезка AH.

Так как BM — медиана, M — середина AC: AM = MC = 76/2 = 38.

Обозначим AH = x, BH = h. По рисунку точки расположены в порядке A, M, H, C: HM = x − 38, HC = 76 − x.

По теореме Пифагора и условию BM = BC:

(x − 38)² + h² = (76 − x)² + h².

Сокращаем h²: (x − 38)² = (76 − x)². Учитывая, что H лежит между M и C, получаем x − 38 = 76 − x, откуда 2x = 114 и x = 57.

Ответ: AH = 57.