20. В треугольнике ABC сторона AC = 88, BM — медиана, BH — высота, BC = BM. Найдите длину отрезка AH.

Так как BM — медиана, AM = MC = 88/2 = 44.

Обозначим AH = x, BH = h. По рисунку точки расположены в порядке A, M, H, C: HM = x − 44, HC = 88 − x.

В прямоугольных треугольниках BMH и BCH равные гипотенузы BM и BC. По теореме Пифагора:

(x − 44)² + h² = (88 − x)² + h².

Сокращаем h² и получаем (x − 44)² = (88 − x)². Из расположения точек следует x − 44 = 88 − x, поэтому 2x = 132 и x = 66.

Ответ: AH = 66.