18. В треугольнике ABC сторона AC = 32, BM — медиана, BH — высота, BC = BM. Найдите длину отрезка AH.

Так как BM — медиана, M — середина AC: AM = MC = 32/2 = 16.

Обозначим AH = x, BH = h. По рисунку точки расположены в порядке A, M, H, C. Тогда HM = x − 16, HC = 32 − x.

В прямоугольных треугольниках BMH и BCH гипотенузы равны, BM = BC. По теореме Пифагора:

(x − 16)² + h² = (32 − x)² + h².

После сокращения h² получаем (x − 16)² = (32 − x)². Так как x находится между 16 и 32, x − 16 = 32 − x. Следовательно, 2x = 48, x = 24.

Ответ: AH = 24.