21. В треугольнике ABC сторона AC = 96, BM — медиана, BH — высота, BC = BM. Найдите длину отрезка AH.

Так как BM — медиана, M — середина AC: AM = MC = 96/2 = 48.

Обозначим AH = x, BH = h. По рисунку точки расположены в порядке A, M, H, C, поэтому HM = x − 48, HC = 96 − x.

Равенство BM = BC и теорема Пифагора для прямоугольных треугольников BMH и BCH дают:

(x − 48)² + h² = (96 − x)² + h².

Сокращаем h². Получаем (x − 48)² = (96 − x)². Так как H находится между M и C, x − 48 = 96 − x, откуда 2x = 144 и x = 72.

Ответ: AH = 72.