2) Сформулируйте и докажите свойства противоположных сторон и углов параллелограмма.

Свойства параллелограмма:

• Противоположные стороны равны: AB = CD, BC = AD.
• Противоположные углы равны: ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
• Сумма углов, прилежащих к любой стороне, равна 180°: ∠A + ∠B = 180°, ∠B + ∠C = 180° и т.д.
• Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам: AO = OC, BO = OD.

Доказательство:

Рассмотрим параллелограмм ABCD. Проведем диагональ AC. Треугольники ABC и CDA равны по трем сторонам (AB=CD, BC=AD, AC - общая). Следовательно, ∠BAC = ∠ACD и ∠BCA = ∠CAD, что означает параллельность сторон.

Из равенства треугольников следует равенство противоположных углов: ∠B = ∠D. Также, ∠A = ∠BAC + ∠CAD и ∠C = ∠BCA + ∠ACD. Так как ∠BAC = ∠ACD и ∠BCA = ∠CAD, то ∠A = ∠C.

Сумма углов параллелограмма равна 360°. Так как ∠A = ∠C и ∠B = ∠D, то 2(∠A + ∠B) = 360°, откуда ∠A + ∠B = 180°.