2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функции: y= x², x= 2, осью ОХ

Решение:

Нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной параболой \( y = x^2 \), прямой \( x = 2 \) и осью ОХ ( \( y = 0 \)).

График функции \( y = x^2 \) — парабола с вершиной в начале координат. При \( x = 2 \) значение \( y = 2^2 = 4 \).

Площадь этой фигуры можно вычислить с помощью определенного интеграла:

\( S = \int_{a}^{b} f(x) dx \)

В данном случае пределы интегрирования будут от \( x = 0 \) (точка пересечения параболы с осью ОХ) до \( x = 2 \).

\( S = \int_{0}^{2} x^2 dx \)

Вычислим интеграл:

\( S = [\frac{x^3}{3}]_{0}^{2} \)

Подставим верхний и нижний пределы:

\( S = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} \)

\( S = \frac{8}{3} - 0 \)

\( S = \frac{8}{3} \)

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{8}{3} \) квадратных единиц.