7. Вычислить: 1) 3⁻².8¹⁴ 2) (8/27)⁻²/³ 3) log₆ 6 + log₃ 3²/₃

Решение:

1) Вычислим:

\( 3^{-2} \cdot 81^4 \)

\( 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \)

\( 81 = 3^4 \), значит \( 81^4 = (3^4)^4 = 3^{16} \)

\( \frac{1}{9} \cdot 3^{16} = \frac{1}{3^2} \cdot 3^{16} = 3^{16-2} = 3^{14} \)

2) Вычислим:

\( (\frac{8}{27})^{-\frac{2}{3}} \)

Сначала поменяем знак степени на противоположный, поменяв местами числитель и знаменатель:

\( (\frac{27}{8})^{\frac{2}{3}} \)

Теперь возведем в степень \( \frac{2}{3} \). Это значит извлечь кубический корень и возвести в квадрат:

\( (\sqrt[3]{\frac{27}{8}})^2 \)

\( \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{3}{2} \)

Теперь возведем в квадрат:

\( (\frac{3}{2})^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4} \)

3) Вычислим:

\( \log_6 6 + \log_3 3^{2/3} \)

Используем свойства логарифмов:

\( \log_a a = 1 \)

\( \log_a a^b = b \)

\( \log_6 6 = 1 \)

\( \log_3 3^{2/3} = \frac{2}{3} \)

Сложим результаты:

\( 1 + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} \)

Ответ: 1) \( 3^{14} \); 2) \( \frac{9}{4} \); 3) \( \frac{5}{3} \).