4. Точка движется по закону S(t) = 2t³ + 5t² - 6t + 3. Найти скорость и ускорение в момент времени t = 1с.

Решение:

Дано: Закон движения точки \( S(t) = 2t^3 + 5t^2 - 6t + 3 \).

Найти: Скорость \( v(t) \) и ускорение \( a(t) \) в момент \( t = 1 \) с.

1. Найдем скорость:

Скорость \( v(t) \) — это первая производная от закона движения \( S(t) \) по времени \( t \).

\( v(t) = S'(t) = \frac{d}{dt}(2t^3 + 5t^2 - 6t + 3) \)

\( v(t) = 2 \cdot 3t^2 + 5 \cdot 2t - 6 \)

\( v(t) = 6t^2 + 10t - 6 \)

Теперь найдем скорость в момент \( t = 1 \) с:

\( v(1) = 6(1)^2 + 10(1) - 6 = 6 + 10 - 6 = 10 \) м/с.

2. Найдем ускорение:

Ускорение \( a(t) \) — это первая производная от скорости \( v(t) \) (или вторая производная от закона движения \( S(t) \)) по времени \( t \).

\( a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(6t^2 + 10t - 6) \)

\( a(t) = 6 \cdot 2t + 10 \)

\( a(t) = 12t + 10 \)

Теперь найдем ускорение в момент \( t = 1 \) с:

\( a(1) = 12(1) + 10 = 12 + 10 = 22 \) м/с².

Ответ: Скорость в момент времени \( t = 1 \) с равна \( 10 \) м/с, ускорение равно \( 22 \) м/с².