8. Найти интегралы: a) ∫(eˣ - 1) dx б) ∫(x² + 2x) dx

Решение:

а) Найдём интеграл:

\( \int (e^x - 1) dx \)

Используем свойства интегралов: \( \int (f(x) - g(x)) dx = \int f(x) dx - \int g(x) dx \) и \( \int c \cdot f(x) dx = c \int f(x) dx \).

\( \int e^x dx = e^x + C_1 \)

\( \int 1 dx = x + C_2 \)

Следовательно:

\( \int (e^x - 1) dx = e^x - x + C \), где \( C = C_1 - C_2 \) — произвольная постоянная.

б) Найдём интеграл:

\( \int (x^2 + 2x) dx \)

\( \int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3} + C_3 \)

\( \int 2x dx = 2 \int x dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 + C_4 \)

Следовательно:

\( \int (x^2 + 2x) dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + C \), где \( C = C_3 + C_4 \) — произвольная постоянная.

Ответ: а) \( e^x - x + C \); б) \( \frac{x^3}{3} + x^2 + C \).