20. Найдите значение выражения \(\frac{\sqrt{25a^9} \cdot \sqrt{16b^8}}{\sqrt{a^5 b^8}}\) при a = 4 и b = 7.

Решение:

Чтобы найти значение выражения \(\frac{\sqrt{25a^9} \cdot \sqrt{16b^8}}{\sqrt{a^5 b^8}}\) при a = 4 и b = 7, сначала упростим выражение:

1. Извлечем корни в числителе: \(\sqrt{25a^9} = 5a^{9/2}\) и \(\sqrt{16b^8} = 4b^{8/2} = 4b^4\).
2. Перемножим числитель: \(5a^{9/2} \cdot 4b^4 = 20a^{9/2}b^4\).
3. Извлечем корень в знаменателе: \(\sqrt{a^5 b^8} = a^{5/2} b^{8/2} = a^{5/2} b^4\).
4. Теперь дробь выглядит так: \(\frac{20a^{9/2}b^4}{a^{5/2} b^4}\).
5. Сократим b⁴: \(\frac{20a^{9/2}}{a^{5/2}}\).
6. Вычтем показатели степени a: \(20a^{(9/2 - 5/2)} = 20a^{4/2} = 20a^2\).
7. Подставим значения a = 4 и b = 7: 20 ⋅ 4² = 20 ⋅ 16 = 320.

Ответ: 320