6. Найдите значение выражения \(\frac{24^4}{3^2 \cdot 8^3}\).

Решение:

Чтобы найти значение выражения \(\frac{24^4}{3^2 \cdot 8^3}\), преобразуем числитель и знаменатель, чтобы привести их к одному основанию:

1. Представим 24 как произведение простых множителей: 24 = 3 ⋅ 8.
2. Тогда числитель можно записать как: 24⁴ = (3 ⋅ 8)⁴ = 3⁴ ⋅ 8⁴.
3. Теперь выражение выглядит так: \(\frac{3^4 \cdot 8^4}{3^2 \cdot 8^3}\).
4. Используем свойство степеней \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) для оснований 3 и 8: \(3^{4-2} \cdot 8^{4-3} = 3^2 \cdot 8^1\).
5. Вычислим результат: 3² ⋅ 8 = 9 ⋅ 8 = 72.

Ответ: 72