20. В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя не глядя переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Решение:

Всего у Пети \( 2 + 4 = 6 \) монет.

Петя перекладывает 3 монеты. Общее число способов выбрать 3 монеты из 6 равно:

\( C_{6}^{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \) способов.

Нам нужно найти вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах. Это означает, что из 3 переложенных монет ровно одна монета 5 рублей, а остальные две — 10 рублей, ИЛИ ровно две монеты 5 рублей, а одна — 10 рублей (что невозможно, т.к. всего 2 монеты по 5 руб.).

Рассмотрим случаи, когда пятирублевые монеты лежат в разных карманах:

1. Случай 1: В другом кармане оказалась 1 монета 5 рублей и 2 монеты 10 рублей.

Количество способов выбрать 1 монету 5 рублей из 2: \( C_{2}^{1} = 2 \).

Количество способов выбрать 2 монеты 10 рублей из 4: \( C_{4}^{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \).

Количество способов в этом случае: \( C_{2}^{1} \times C_{4}^{2} = 2 \times 6 = 12 \).

2. Случай 2: В другом кармане оказались обе 2 монеты 5 рублей и 1 монета 10 рублей.

Количество способов выбрать 2 монеты 5 рублей из 2: \( C_{2}^{2} = 1 \).

Количество способов выбрать 1 монету 10 рублей из 4: \( C_{4}^{1} = 4 \).

Количество способов в этом случае: \( C_{2}^{2} \times C_{4}^{1} = 1 \times 4 = 4 \).

Общее количество благоприятных исходов (когда пятирублевые монеты оказались в разных карманах) = \( 12 + 4 = 16 \).

Вероятность этого события:

P = \( \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее число способов}} \) = \( \frac{16}{20} \) = \( \frac{4}{5} \) = 0.8

Ответ: 0.8