222. Решить уравнения: 1) $3^{x+3}+3^x=7^{x+1}+5\cdot7^x$; 2) $3^{x+4}+3\cdot5^{x+3}=5^{x+4}+3^{x+3}$; 3) $2^{8-x}+7^{3-x}=7^{4-x}+11\cdot2^{3-x}$; 4) $2^{x+1}+2^{x-1}-3^{x-1}=3^{x-2}-2^{x-3}+2\cdot3^{x-3}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 222. Решить уравнения: 1) $3^{x+3}+3^x=7^{x+1}+5\cdot7^x$; 2) $3^{x+4}+3\cdot5^{x+3}=5^{x+4}+3^{x+3}$; 3)…$ Фото задания

Accepted Answer

Сводим к $28\cdot3^x=12\cdot7^x$, то есть $(3/7)^x=3/7$. Ответ: $x=1$.
Перенос и группировка дают $26\cdot3^{x+3}=2\cdot5^{x+3}$, поэтому $(3/5)^{x+3}=1/13$. Ответ: $x=-3+\frac{\ln(1/13)}{\ln(3/5)}$.
Обозначим $a=2^{-x}>0$, $b=7^{-x}>0$. Уравнение сводится к $32a+\frac17b=\frac{11}{8}a+\frac{11}{7}b$, откуда $a=b$. Следовательно $2^{-x}=7^{-x}$, и $x=0$.
Умножаем на $2^{3-x}3^{3-x}>0$ или группируем степени: уравнение равносильно $9\cdot2^x-10\cdot3^x=0$. Тогда $(2/3)^x=10/9$, откуда $x=\frac{\ln(10/9)}{\ln(2/3)}$.

222. Решить уравнения: 1) \(3^{x+3}+3^x=7^{x+1}+5\cdot7^x\); 2) \(3^{x+4}+3\cdot5^{x+3}=5^{x+4}+3^{x+3}\); 3) \(2^{8-x}+7^{3-x}=7^{4-x}+11\cdot2^{3-x}\); 4) \(2^{x+1}+2^{x-1}-3^{x-1}=3^{x-2}-2^{x-3}+2\cdot3^{x-3}\).