227. Доказать, что уравнение имеет только один корень $x=1$: 1) $4^x+25^x=29$; 2) $7^x+18^x=25$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 227. Доказать, что уравнение имеет только один корень $x=1$: 1) $4^x+25^x=29$; 2) $7^x+18^x=25$.$ Фото задания

Accepted Answer

Подстановка $x=1$ даёт равенство. Если $x<1$, то $4^x<4$ и $25^x<25$, поэтому сумма меньше 29. Если $x>1$, оба слагаемых больше соответствующих значений при $x=1$, поэтому сумма больше 29. Следовательно, единственный корень — $x=1$.
При $x=1$ сумма равна $7+18=25$. При $x<1$ оба слагаемых меньше 7 и 18, а при $x>1$ оба больше. Поэтому единственный корень также $x=1$.

227. Доказать, что уравнение имеет только один корень \(x=1\): 1) \(4^x+25^x=29\); 2) \(7^x+18^x=25\).