255) В равнобедренном треугольнике CDE с основанием СЕ проведена высота CF. Найдите \(\angle ECF\), если \(\angle D = 54^{\circ}\).

Решение: 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, \(\angle C = \angle E\). 2. Сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\). Поэтому, \(\angle C + \angle D + \angle E = 180^{\circ}\). Так как \(\angle C = \angle E\), можно записать как \(2 \cdot \angle E + \angle D = 180^{\circ}\). 3. Подставим известное значение угла D: \(2 \cdot \angle E + 54^{\circ} = 180^{\circ}\). 4. Решим уравнение, чтобы найти \(\angle E\): \(2 \cdot \angle E = 180^{\circ} - 54^{\circ} = 126^{\circ}\), следовательно, \(\angle E = 63^{\circ}\). 5. CF - высота, значит, \(\angle CFE = 90^{\circ}\). Рассмотрим треугольник CFE. Сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\). 6. В треугольнике CFE имеем: \(\angle ECF + \angle CFE + \angle FEC = 180^{\circ}\). Мы знаем \(\angle CFE = 90^{\circ}\) и \(\angle FEC = \angle E = 63^{\circ}\). 7. Найдем \(\angle ECF\): \(\angle ECF = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 63^{\circ} = 27^{\circ}\). Ответ: \(\angle ECF = 27^{\circ}\).