262) В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ углы A и A₁, B и B₁ - прямые, BD и B₁D₁ - биссектрисы. Докажите, ∆ABC = ∆A₁B₁C₁, если ∠B=∠B₁ и BD=B₁D₁.

Доказательство: 1. Рассмотрим треугольники BDA и B₁D₁A₁. У них BD = B₁D₁ по условию. 2. Так как BD и B₁D₁ - биссектрисы, то \(\angle ABD = \frac{1}{2} \angle ABC\) и \(\angle A₁B₁D₁ = \frac{1}{2} \angle A₁B₁C₁\). По условию \(\angle ABC = \angle A₁B₁C₁\), следовательно, \(\angle ABD = \angle A₁B₁D₁\). 3. \(\angle BAD = 90^{\circ}\) и \(\angle B₁A₁D₁ = 90^{\circ}\). 4. Следовательно, треугольники BDA и B₁D₁A₁ равны по гипотенузе (BD = B₁D₁) и острому углу (\(\angle ABD = \angle A₁B₁D₁\)). 5. Из равенства треугольников следует, что BA = B₁A₁. 6. Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁. У них \(\angle BAC = \angle B₁A₁C₁ = 90^{\circ}\), \(\angle ABC = \angle A₁B₁C₁\) (по условию) и BA = B₁A₁ (доказано выше). 7. Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по катету и прилежащему острому углу. Что и требовалось доказать.