257) В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120°. АС + АВ = 18 см. Найдите АС и АВ.

Решение: 1. Если внешний угол при вершине A равен 120°, то внутренний угол \(\angle A = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}\). 2. Так как \(\angle C = 90^{\circ}\) и \(\angle A = 60^{\circ}\), то \(\angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}\). 3. Катет AC лежит против угла 30°, поэтому \(AC = \frac{1}{2}AB\). 4. По условию, \(AC + AB = 18\). Подставим \(AC = \frac{1}{2}AB\): \(\frac{1}{2}AB + AB = 18\), или \(\frac{3}{2}AB = 18\). 5. Решим уравнение для AB: \(AB = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12\) см. 6. Найдем AC: \(AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6\) см. Ответ: AC = 6 см, AB = 12 см.