259) Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведенная к боковой стороне, равна 9 см. Найдите основание треугольника.

Решение: 1. Пусть дан равнобедренный треугольник ABC с углом \(\angle B = 120^{\circ}\). Тогда \(\angle A = \angle C = (180^{\circ} - 120^{\circ}) / 2 = 30^{\circ}\). 2. Пусть BH - высота, проведенная к стороне AC (боковой). Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. 3. В прямоугольном треугольнике ABH, \(\angle A = 30^{\circ}\), BH = 9 см. Тогда AB = 2 * BH = 18 см (т.к. катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы). 4. Так как треугольник ABC равнобедренный, то AB = BC = 18 см. 5. Найдем основание AC по теореме косинусов: \(AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cos(120^{\circ})\). 6. \(AC^2 = 18^2 + 18^2 - 2 \cdot 18 \cdot 18 \cdot (-0.5) = 324 + 324 + 324 = 972\). 7. \(AC = \sqrt{972} = 18\sqrt{3}\) см. Ответ: Основание треугольника равно \(18\sqrt{3}\) см.