258) Из середины D стороны BC равностороннего треугольника ABC проведен перпендикуляр DM к прямой AC. Найдите AM, если AB = 12 см.

Решение: 1. В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому AB = BC = AC = 12 см. 2. Так как D - середина BC, то BD = DC = BC / 2 = 12 / 2 = 6 см. 3. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Значит, \(\angle C = 60^{\circ}\). 4. Рассмотрим треугольник DMC. \(\angle DMC = 90^{\circ}\), \(\angle C = 60^{\circ}\), следовательно, \(\angle MDC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}\). 5. В прямоугольном треугольнике DMC катет DC лежит против угла 30°, поэтому DM = DC / 2 = 6 / 2 = 3 см. 6. Рассмотрим треугольник ADM. Для нахождения AM потребуются знания тригонометрии или теоремы Пифагора, что не соответствует школьной программе для данного задания. Можно предположить, что точка M лежит на стороне AC, и тогда AM можно найти, зная MC. MC можно найти из треугольника DMC. MC = DC * cos(60°) = 6 * (1/2) = 3. Тогда AM = AC - MC = 12 - 3 = 9. Ответ: AM = 9 см (при условии, что точка M лежит на AC).