27. Сторона треугольника равна 42 см, а медианы, проведённые к двум другим сторонам, — 30 см и 60 см. Найдите третью медиану треугольника.

Обозначим сторону 42 см через a, а медианы к двум другим сторонам — через m_b = 30 и m_c = 60. Для медиан верно равенство m_a² + m_b² + m_c² = 3/4 · (a² + b² + c²). Также из формул медиан следует, что a² + b² + c² = 4/3 · (m_a² + m_b² + m_c²), поэтому эти соотношения сами по себе не позволяют найти m_a. Однако используем формулу для суммы квадратов сторон через медианы попарно: a² = 2m_b² + 2m_c² − 4m_a².

42² = 2 · 30² + 2 · 60² − 4m_a². Тогда 4m_a² = 8208 − 1764 = 6444, m_a² = 1611.

Ответ: 3√179 см.