№ 3. В треугольнике ABC на сторонах AB и BC соответственно отметили точки D и E. Известно, что AC=12 см, DE=8 см, \( \angle BAC = \angle BDE \). Вычислите AD, если BD=9 см.

Решение:

Условие \( \angle BAC = \angle BDE \) и тот факт, что \( DE \parallel AC \) (так как \( \angle BDE = \angle BAC \) являются соответственными углами при пересечении прямых \( DE \) и \( AC \) секущей \( AB \) ), говорят о том, что треугольники ABC и DBE подобны по двум углам (угол B общий, и \( \angle BAC = \angle BDE \)).

Из подобия треугольников ABC и DBE следует соотношение сторон:

\( \frac{BD}{BA} = \frac{BE}{BC} = \frac{DE}{AC} \)

Нас интересует соотношение \( \frac{BD}{BA} = \frac{DE}{AC} \).

Мы знаем: \( BD=9 \) см, \( DE=8 \) см, \( AC=12 \) см.

Подставим известные значения:

\( \frac{9}{BA} = \frac{8}{12} \)

Найдем длину стороны BA:

\( BA = \frac{9 \cdot 12}{8} = \frac{108}{8} = 13.5 \) см.

Теперь, чтобы найти AD, вычтем BD из BA:

\( AD = BA - BD \)

\( AD = 13.5 - 9 = 4.5 \) см.

Ответ:

AD = 4.5 см.