7. Докажите, что при любом значении \( p \) уравнение \( x^2 + px + p - 1 = 0 \) имеет хотя бы один корень.

Решение:

Квадратное уравнение вида \( ax^2+bx+c=0 \) имеет хотя бы один корень, если его дискриминант \( D \geq 0 \). В данном уравнении \( a=1, b=p, c=p-1 \).

Найдем дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac \)

\( D = p^2 - 4(1)(p-1) \)

\( D = p^2 - 4p + 4 \)

Заметим, что выражение \( p^2 - 4p + 4 \) является полным квадратом:

\( p^2 - 4p + 4 = (p-2)^2 \)

Теперь рассмотрим дискриминант: \( D = (p-2)^2 \). Поскольку любое число, возведенное в квадрат, больше или равно нулю, то \( (p-2)^2 ≥ 0 \) при любом значении \( p \).

Следовательно, дискриминант \( D ≥ 0 \) для любого \( p \), что означает, что данное квадратное уравнение всегда имеет хотя бы один действительный корень.