8. Постройте график функции \( y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \le 1, \\ 1-x, & \text{если } x > 1. \end{cases} \)

Решение:

График данной функции состоит из двух частей, соответствующих двум условиям для \( x \).

Часть 1: \( y = x^2 \) при \( x \le 1 \).

Это часть параболы \( y=x^2 \), которая располагается слева от прямой \( x=1 \) (включая точку \( x=1 \)).

• При \( x=1 \), \( y = 1^2 = 1 \). Точка \( (1, 1) \) принадлежит графику.
• При \( x=0 \), \( y = 0^2 = 0 \). Точка \( (0, 0) \) принадлежит графику.
• При \( x=-1 \), \( y = (-1)^2 = 1 \). Точка \( (-1, 1) \) принадлежит графику.

Часть 2: \( y = 1-x \) при \( x > 1 \).

Это луч прямой \( y=1-x \), который начинается справа от точки \( x=1 \) (не включая \( x=1 \)).

• При \( x \) стремящемся к \( 1 \) справа, \( y \) стремится к \( 1-1 = 0 \). Точка \( (1, 0) \) является началом луча, но не включается в график (отмечена пустым кружком).
• При \( x=2 \), \( y = 1-2 = -1 \). Точка \( (2, -1) \) принадлежит графику.
• При \( x=3 \), \( y = 1-3 = -2 \). Точка \( (3, -2) \) принадлежит графику.

График:

График будет выглядеть следующим образом:

• Парабола \( y=x^2 \) для \( x ≤ 1 \), вершина в \( (0,0) \), проходит через \( (-1,1) \) и заканчивается в \( (1,1) \) (закрашенная точка).
• Прямая \( y=1-x \) для \( x > 1 \), начинающаяся из точки \( (1,0) \) (пустая точка) и идущая вниз вправо.