№ 4. В равнобедренной трапеции ADCD с основаниями AD и BC синус угла А равен \( \frac{1}{2} \). Вычислите площадь трапеции, если сумма оснований равна 28 см, а периметр трапеции равен 36 см.

Решение:

Обозначим основания трапеции как \( a \) (AD) и \( b \) (BC), а боковую сторону как \( c \). Периметр трапеции \( P = a + b + 2c \). Площадь трапеции \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), где \( h \) - высота.

Из условия известно:

1. \( a + b = 28 \) см.
2. \( P = a + b + 2c = 36 \) см.
3. \( \sin A = \frac{1}{2} \).

Шаг 1: Найдем боковую сторону \( c \).

Подставим \( a+b=28 \) в формулу периметра:

\( 28 + 2c = 36 \)

\( 2c = 36 - 28 \)

\( 2c = 8 \)

\( c = 4 \) см.

Шаг 2: Найдем высоту \( h \).

В равнобедренной трапеции синус угла при основании равен отношению высоты к боковой стороне: \( \sin A = \frac{h}{c} \).

Из условия \( \sin A = \frac{1}{2} \) и \( c=4 \) см:

\( \frac{1}{2} = \frac{h}{4} \)

\( h = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2 \) см.

Шаг 3: Найдем площадь трапеции.

Используем формулу площади \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \).

Подставляем \( a+b=28 \) см и \( h=2 \) см:

\( S = \frac{28}{2} \cdot 2 \)

\( S = 14 \cdot 2 = 28 \) см².

Ответ:

Площадь трапеции равна 28 см².