5. Докажите тождество \( \frac{3}{2a-3} - \frac{8a^3-18a}{4a^2+9} \cdot \left( \frac{2a}{4a^2-12a+9} - \frac{3}{4a^2-9} \right) = -1 \)

Решение:

Для доказательства тождества преобразуем левую часть уравнения, приведя ее к виду -1.

Шаг 1: Преобразуем знаменатели:

\( 4a^2-12a+9 = (2a-3)^2 \)

\( 4a^2-9 = (2a-3)(2a+3) \)

Шаг 2: Приведем к общему знаменателю выражение в скобках:

\( \frac{2a}{(2a-3)^2} - \frac{3}{(2a-3)(2a+3)} = \frac{2a(2a+3) - 3(2a-3)}{(2a-3)^2(2a+3)} = \frac{4a^2+6a-6a+9}{(2a-3)^2(2a+3)} = \frac{4a^2+9}{(2a-3)^2(2a+3)} \)

Шаг 3: Подставим это обратно в исходное выражение:

\( \frac{3}{2a-3} - \frac{8a^3-18a}{4a^2+9} \cdot \frac{4a^2+9}{(2a-3)^2(2a+3)} = \frac{3}{2a-3} - \frac{8a^3-18a}{(2a-3)^2(2a+3)} \)

Шаг 4: Вынесем \( 2a \) из \( 8a^3-18a \):

\( 8a^3-18a = 2a(4a^2-9) = 2a(2a-3)(2a+3) \)

Шаг 5: Подставим это:

\( \frac{3}{2a-3} - \frac{2a(2a-3)(2a+3)}{(2a-3)^2(2a+3)} \)

Шаг 6: Сократим дробь:

\( \frac{3}{2a-3} - \frac{2a}{2a-3} = \frac{3-2a}{2a-3} = \frac{-(2a-3)}{2a-3} = -1 \)

Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.