4. При каких значениях переменной \( x \) имеет смысл выражение \( \frac{x-1}{2x^2-5x+2} \)?

Решение:

Дробь имеет смысл, если ее знаменатель не равен нулю. Поэтому нам нужно найти значения \( x \), при которых \( 2x^2-5x+2 \) не равно нулю.

Найдем корни квадратного уравнения \( 2x^2-5x+2 = 0 \) с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \).

В данном уравнении \( a=2, b=-5, c=2 \).

\( D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 \)

Найдем корни по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \):

\( x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2 \)

\( x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)

Таким образом, знаменатель равен нулю при \( x=2 \) и \( x=\frac{1}{2} \). Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях \( x \), кроме \( x=2 \) и \( x=\frac{1}{2} \).

Ответ:

Выражение имеет смысл при \( x \neq 2 \) и \( x \neq \frac{1}{2} \).