3. Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, делит сторону ромба пополам. Найдите углы ромба.

Пусть высота проведена из вершины A к противоположной стороне CD и пересекает её в точке H. По условию H — середина CD, поэтому CH = CD/2.

Так как AB ∥ CD, высота AH перпендикулярна AB. В прямоугольном треугольнике ADH гипотенуза AD равна стороне ромба, то есть CD, а катет DH равен CD/2. Следовательно, cos ∠ADH = DH/AD = 1/2, значит, ∠ADH = 60°.

Угол ромба при D состоит из ∠ADH и прямого угла между DH и AH: он равен 150°? Уточним: DH лежит на CD, а AH ⟂ CD, поэтому треугольник ADH прямоугольный именно при H. Тогда ∠ADH — угол между AD и DC, то есть угол ромба при D; cos ∠ADH = DH/AD = 1/2, откуда ∠D = 60°. Это острый угол, что противоречит тому, что высота проведена из вершины тупого угла.

Значит, обозначим тупую вершину A, а основание высоты H на противоположной стороне CD. В прямоугольном треугольнике ADH получаем DH = CD/2 = AD/2, поэтому острый угол между AD и высотой AH равен 30°. Угол между AD и CD равен 90° + 30° = 120°.

Соседние углы ромба supplementary, а противоположные равны. Поэтому углы ромба — 120° и 60°.

Ответ: 60° и 120°.