5. CM и CK — высоты ромба ABCD. Доказать, что BM = DK.

Рассмотрим стандартное расположение высот: CM ⟂ AB и CK ⟂ AD. Обозначим сторону ромба через a, а угол BAD через α.

Проекция стороны BC на прямую AB по длине равна a|cos α|. Поскольку BC ∥ AD, расстояние BM от B до основания высоты CM равно этой проекции: BM = a|cos α|.

Аналогично, CD ∥ AB, поэтому проекция CD на прямую AD имеет длину a|cos α|. Это расстояние DK от D до основания высоты CK. Значит, DK = a|cos α|.

Следовательно, BM = DK.

Что и требовалось доказать.