7. В равнобокой трапеции один из углов равен 120°, диагональ трапеции образует с основанием угол 30°. Найти основания трапеции, если длина боковых сторон равна по 8 см.

Углы при каждом основании равнобокой трапеции равны, а соседние углы supplementary. Высота трапеции равна 8 sin 60° = 4√3 см. Горизонтальная проекция каждой боковой стороны равна 8 cos 60° = 4 см, поэтому разность оснований равна 8 см.

Проекция диагонали на основание равна высоте, делённой на tan 30°: 4√3 ÷ (1/√3) = 12 см. Для диагонали равнобокой трапеции эта проекция равна полусумме оснований, поэтому сумма оснований равна 24 см.

Обозначим большее основание L, меньшее — S. Тогда L + S = 24 и L − S = 8. Отсюда L = 16 см, S = 8 см.

Ответ: основания 8 см и 16 см.