30. Solve the equation: \(\log_2 \frac{2}{x-1} = \log_2 x\)

Решение:

Для решения уравнения \(\log_2 \frac{2}{x-1} = \log_2 x\) приравняем аргументы логарифмов:

\(\frac{2}{x-1} = x\)

Умножим обе части на \((x-1)\), учитывая, что \(x-1 \neq 0\) (т.е. \(x \neq 1\)) и \(x > 0\) (так как \(\log_2 x\) определён при \(x > 0\)):

\(2 = x(x-1)\)

\(2 = x^2 - x\)

\(x^2 - x - 2 = 0\)

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\). \(\sqrt{D} = 3\).

Корни уравнения:

\(x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2\)

\(x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1\)

Проверим ОДЗ: \(x > 0\) и \(x \neq 1\).

Корень \(x_1 = 2\) удовлетворяет ОДЗ.

Корень \(x_2 = -1\) не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: x = 2.