37. Solve the equation: \(\log_{0.5}^2 x - \log_{0.5} x - 2 = 0\)

Решение:

Пусть \(y = \log_{0.5} x\). Тогда уравнение примет вид:

\(y^2 - y - 2 = 0\)

Решим это квадратное уравнение относительно \(y\). Дискриминант \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\). \(\sqrt{D} = 3\).

Корни для \(y\):

\(y_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2\)

\(y_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1\)

Теперь вернёмся к \(x\).

1. \(\log_{0.5} x = y_1 = 2\)

\(x = (0.5)^2 = 0.25 = \frac{1}{4}\)

2. \(\log_{0.5} x = y_2 = -1\)

\(x = (0.5)^{-1} = \frac{1}{0.5} = 2\)

Проверим ОДЗ: \(x > 0\). Оба корня \(x = \frac{1}{4}\) и \(x = 2\) положительны.

Ответ: x = \(\frac{1}{4}\), x = 2.