36. Solve the equation: \(\log_{13} \log_3 \log_2 (x^2+2x) = 0\)

Решение:

Применим определение логарифма последовательно, начиная с внешнего логарифма.

Поскольку \(\log_{13} A = 0\), то \(A = 13^0 = 1\).

Здесь \(A = \log_3 \log_2 (x^2+2x)\).

\(\log_3 \log_2 (x^2+2x) = 1\)

Теперь, поскольку \(\log_3 B = 1\), то \(B = 3^1 = 3\).

Здесь \(B = \log_2 (x^2+2x)\).

\(\log_2 (x^2+2x) = 3\)

Наконец, поскольку \(\log_2 C = 3\), то \(C = 2^3 = 8\).

Здесь \(C = x^2+2x\).

\(x^2+2x = 8\)

\(x^2+2x-8 = 0\)

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36\). \(\sqrt{D} = 6\).

Корни уравнения:

\(x_1 = \frac{-2 + 6}{2} = 2\)

\(x_2 = \frac{-2 - 6}{2} = -4\)

Проверим ОДЗ:

1. \(x^2+2x > 0\) (аргумент \(\log_2\)). \(x(x+2) > 0\). Это выполняется при \(x > 0\) или \(x < -2\).

2. \(\log_2 (x^2+2x) > 0\) (аргумент \(\log_3\)). Это выполняется, если \(x^2+2x > 2^0 = 1\). \(x^2+2x-1 > 0\). Корни \(x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}\). Значит, \(x > -1+\sqrt{2}\) (приблизительно 0.414) или \(x < -1-\sqrt{2}\) (приблизительно -2.414).

3. \(\log_3 \log_2 (x^2+2x) > 0\) (аргумент \(\log_{13}\)). Это выполняется, если \(\log_2 (x^2+2x) > 3^0 = 1\). Мы уже решали это условие: \(x^2+2x > 2^1 = 2\). \(x^2+2x-2 > 0\). Корни \(x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}\). Значит, \(x > -1+\sqrt{3}\) (приблизительно 0.732) или \(x < -1-\sqrt{3}\) (приблизительно -2.732).

Объединяя все условия, получаем \(x > -1+\sqrt{3}\) или \(x < -1-\sqrt{3}\).

Проверим наши корни:

\(x_1 = 2\). \(2 > -1+\sqrt{3}\) (так как \(2 > 0.732\)). Значит, \(x_1 = 2\) — решение.

\(x_2 = -4\). \(-4 < -1-\sqrt{3}\) (так как \(-4 < -2.732\)). Значит, \(x_2 = -4\) — решение.

Ответ: x = 2, x = -4.