40. Решить систему уравнений: \(\begin{cases} \log_3 x - \log_3 y = 2 \\ 2y^2 + x - 11 = 0 \end{cases}\)

Решение:

Из первого уравнения системы \(\log_3 x - \log_3 y = 2\) выразим \(x\) через \(y\):

\(\log_3 \frac{x}{y} = 2\)

\(\frac{x}{y} = 3^2 = 9\)

\(x = 9y\)

Подставим это выражение для \(x\) во второе уравнение \(2y^2 + x - 11 = 0\):

\(2y^2 + 9y - 11 = 0\)

Решим полученное квадратное уравнение относительно \(y\). Дискриминант \(D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-11) = 81 + 88 = 169\). \(\sqrt{D} = 13\).

Корни для \(y\):

\(y_1 = \frac{-9 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1\)

\(y_2 = \frac{-9 - 13}{2 \cdot 2} = \frac{-22}{4} = -5.5\)

Теперь найдём соответствующие значения \(x\) для каждого \(y\):

1. Если \(y_1 = 1\), то \(x_1 = 9y_1 = 9 \cdot 1 = 9\).

2. Если \(y_2 = -5.5\), то \(x_2 = 9y_2 = 9 \cdot (-5.5) = -49.5\).

Проверим ОДЗ для первого уравнения: \(x > 0\) и \(y > 0\).

Решение \((x_1, y_1) = (9, 1)\) удовлетворяет ОДЗ.

Решение \((x_2, y_2) = (-49.5, -5.5)\) не удовлетворяет ОДЗ (так как \(x < 0\) и \(y < 0\)).

Ответ: \((9, 1)\).