41. Решить систему уравнений: \(\begin{cases} \lg x - \lg y = \lg 2 \\ 3x - y = 10 \end{cases}\)

Решение:

Из первого уравнения системы \(\lg x - \lg y = \lg 2\) выразим \(x\) через \(y\):

\(\lg \frac{x}{y} = \lg 2\)

Приравнивая аргументы логарифмов (так как функция \(\lg\) взаимно однозначна):

\(\frac{x}{y} = 2\)

\(x = 2y\)

Подставим это выражение для \(x\) во второе уравнение \(3x - y = 10\):

\(3(2y) - y = 10\)

\(6y - y = 10\)

\(5y = 10\)

\(y = 2\)

Теперь найдём соответствующее значение \(x\):

\(x = 2y = 2 \cdot 2 = 4\)

Проверим ОДЗ для первого уравнения: \(x > 0\) и \(y > 0\).

Решение \((x, y) = (4, 2)\) удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: \((4, 2)\).