39. Solve the equation: \(2\log_2 x = 3\log_3 x\)

Решение:

Для решения уравнения \(2\log_2 x = 3\log_3 x\) воспользуемся формулой смены основания логарифма: \(\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\). Приведём оба логарифма к общему основанию, например, к натуральному логарифму \(\ln\):

\(\log_2 x = \frac{\ln x}{\ln 2}\)

\(\log_3 x = \frac{\ln x}{\ln 3}\)

Подставим в исходное уравнение:

\(2 \frac{\ln x}{\ln 2} = 3 \frac{\ln x}{\ln 3}\)

Перенесём все члены в одну сторону:

\(2 \frac{\ln x}{\ln 2} - 3 \frac{\ln x}{\ln 3} = 0\)

Вынесем \(\ln x\) за скобки:

\(\ln x \left( \frac{2}{\ln 2} - \frac{3}{\ln 3} \right) = 0\)

Это уравнение имеет два возможных случая:

1. \(\ln x = 0\) \(\implies x = e^0 = 1\).

2. \(\frac{2}{\ln 2} - \frac{3}{\ln 3} = 0\)

\(\frac{2}{\ln 2} = \frac{3}{\ln 3}\)

\(2 \ln 3 = 3 \ln 2\)

\(\ln 3^2 = \ln 2^3\)

\(\ln 9 = \ln 8\)

Это равенство неверно, так как \(9 \neq 8\).

Таким образом, единственным решением является \(x = 1\).

Проверим ОДЗ: \(x > 0\). \(x = 1\) удовлетворяет этому условию.

Ответ: x = 1.