32. Solve the equation: \(\frac{1}{2} \lg(x^2+x-5) = \lg(5x) + \lg \frac{1}{5x}\)

Решение:

Упростим правую часть уравнения:

\(\lg(5x) + \lg \frac{1}{5x} = \lg \left( 5x \cdot \frac{1}{5x} \right) = \lg(1) = 0\)

Теперь уравнение выглядит так:

\(\frac{1}{2} \lg(x^2+x-5) = 0\)

Умножим обе части на 2:

\(\lg(x^2+x-5) = 0\)

По определению логарифма, если \(\lg A = 0\), то \(A = 10^0 = 1\).

\(x^2+x-5 = 1\)

\(x^2+x-6 = 0\)

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\). \(\sqrt{D} = 5\).

Корни уравнения:

\(x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = 2\)

\(x_2 = \frac{-1 - 5}{2} = -3\)

Проверим ОДЗ для исходного уравнения: \(x^2+x-5 > 0\), \(5x > 0\) (что означает \(x > 0\)), \(\frac{1}{5x} > 0\) (что также означает \(x > 0\)).

Для \(x_1 = 2\): \(2^2+2-5 = 4+2-5 = 1 > 0\). Значит, \(x_1 = 2\) является решением.

Для \(x_2 = -3\): \(-3 < 0\), что нарушает ОДЗ \(x > 0\).

Ответ: x = 2.