38. Solve the equation: \(\log_2^2(1-x) - 2\log_2(1-x) = 3\)

Решение:

Пусть \(y = \log_2(1-x)\). Тогда уравнение примет вид:

\(y^2 - 2y = 3\)

\(y^2 - 2y - 3 = 0\)

Решим это квадратное уравнение относительно \(y\). Дискриминант \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\). \(\sqrt{D} = 4\).

Корни для \(y\):

\(y_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3\)

\(y_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1\)

Теперь вернёмся к \(x\).

1. \(\log_2(1-x) = y_1 = 3\)

\(1-x = 2^3 = 8\)

\(1-x = 8\)

\(x = 1 - 8 = -7\)

2. \(\log_2(1-x) = y_2 = -1\)

\(1-x = 2^{-1} = \frac{1}{2}\)

\(1-x = 0.5\)

\(x = 1 - 0.5 = 0.5\)

Проверим ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положительным, то есть \(1-x > 0 \implies x < 1\).

Для \(x = -7\): \(-7 < 1\). Подходит.

Для \(x = 0.5\): \(0.5 < 1\). Подходит.

Ответ: x = -7, x = 0.5.