33. Solve the equation: \(\log_3(x-1) + 2\log_9(17+x) = 7 + \log_{1/3} 9\)

Решение:

Приведём все логарифмы к одному основанию. Удобно взять основание 3.

\(\log_9 A = \frac{\log_3 A}{\log_3 9} = \frac{\log_3 A}{2}\)

\(\log_{1/3} 9 = \frac{\log_3 9}{\log_3 (1/3)} = \frac{2}{-1} = -2\)

Подставим это в исходное уравнение:

\(\log_3(x-1) + 2 \cdot \frac{\log_3(17+x)}{2} = 7 + (-2)\)

\(\log_3(x-1) + \log_3(17+x) = 5\)

Используем свойство логарифма \(\log_b A + \log_b C = \log_b (A \cdot C)\):

\(\log_3((x-1)(17+x)) = 5\)

По определению логарифма:

\((x-1)(17+x) = 3^5\)

\(17x + x^2 - 17 - x = 243\)

\(x^2 + 16x - 17 - 243 = 0\)

\(x^2 + 16x - 260 = 0\)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \(D = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-260) = 256 + 1040 = 1296\). \(\sqrt{D} = 36\).

Корни уравнения:

\(x_1 = \frac{-16 + 36}{2} = \frac{20}{2} = 10\)

\(x_2 = \frac{-16 - 36}{2} = \frac{-52}{2} = -26\)

Проверим ОДЗ: \(x-1 > 0 \implies x > 1\) и \(17+x > 0 \implies x > -17\). Общая ОДЗ: \(x > 1\).

Корень \(x_1 = 10\) удовлетворяет ОДЗ.

Корень \(x_2 = -26\) не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: x = 10.