34. Solve the equation: \(\log_3 x + \log_{\sqrt{3}} x - \log_{1/3} x = 6\)

Решение:

Приведём все логарифмы к одному основанию, например, к основанию 3.

\(\log_{\sqrt{3}} x = \frac{\log_3 x}{\log_3 \sqrt{3}} = \frac{\log_3 x}{1/2} = 2\log_3 x\)

\(\log_{1/3} x = \frac{\log_3 x}{\log_3 (1/3)} = \frac{\log_3 x}{-1} = -\log_3 x\)

Подставим в исходное уравнение:

\(\log_3 x + 2\log_3 x - (-\log_3 x) = 6\)

\(\log_3 x + 2\log_3 x + \log_3 x = 6\)

\(4\log_3 x = 6\)

\(\log_3 x = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\)

По определению логарифма:

\(x = 3^{3/2}\)

\(x = \sqrt{3^3} = \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}\)

Проверим ОДЗ: \(x > 0\). \(3\sqrt{3} > 0\).

Ответ: x = \(3\sqrt{3}\).