31. Solve the equation: \(\lg \frac{x+8}{x-1} = \lg x\)

Решение:

Для решения уравнения \(\lg \frac{x+8}{x-1} = \lg x\) приравняем аргументы логарифмов:

\(\frac{x+8}{x-1} = x\)

Умножим обе части на \((x-1)\), учитывая, что \(x-1 \neq 0\) (т.е. \(x \neq 1\)) и \(x > 0\) (так как \(\lg x\) определён при \(x > 0\)):

\(x+8 = x(x-1)\)

\(x+8 = x^2 - x\)

\(x^2 - 2x - 8 = 0\)

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36\). \(\sqrt{D} = 6\).

Корни уравнения:

\(x_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4\)

\(x_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2\)

Проверим ОДЗ: \(x > 0\) и \(x \neq 1\).

Корень \(x_1 = 4\) удовлетворяет ОДЗ.

Корень \(x_2 = -2\) не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: x = 4.