31. lg((x+8)/(x-1)) = lg(x)

Решение:

Приравниваем аргументы логарифмов:

\( \frac{x+8}{x-1} = x \)

Умножаем обе части на \( x-1 \), при условии \( x \neq 1 \):

\( x+8 = x(x-1) \)

\( x+8 = x^2 - x \)

\( x^2 - 2x - 8 = 0 \)

Решаем квадратное уравнение:

Дискриминант \( D = (-2)^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36 \).

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4 \)

\( x_2 = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2 - 6}{2} = -2 \)

Проверяем условия неотрицательности аргументов логарифмов:

\( x+8 > 0 \) и \( x > 0 \).

Для \( x_1 = 4 \): \( 4+8 = 12 > 0 \) и \( 4 > 0 \). Значение подходит.

Для \( x_2 = -2 \): \( -2 < 0 \). Значение не подходит.

Ответ: 4